ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΟΞΑ

Οπως συμβαινει παντου στη φυση ετσι και στα μαθηματικα δεν υπαρχει παρθενογενεση.ενα συγκεκριμενο αντικειμενο δεν μπορει να δημιουργηθει απο το τιποτα-πρεπει κατι να προηγηθει που θα προκαλεσει τη δημιουργια του.

στα μαθηματικα αυτο που προηγειται παντα ειναι τα αξιωματα,δηλαδη καποιες προφανεις προτασεις της διασθησης μας που τις δεχομαστε a priori χωρις αποδειξη.στη συνεχεια με τους κανονες της λογικης συναγομε τα αποτελεσματα και με βαση αυτα τα αποτελεσματα παραγουμε αλλα αποτελεσματα κ.ο.κ.επομενως καθε προταση-θεωρημα των μαθηματικων αναγεται τελικα στα αξιωματα.χωρις αξιωματα δηλαδη δεν μπορουν να υπαρξουν μαθηματικα.αλλα και χωρις λογικη το ιδιο!!

σιγουρα το τελειοτερο συστημα αξιωματων που παραγει μια πολυ πλουσια θεωρια με απειρες εφαρμογες ειναι η γεωμετρια του ευκλειδη που μαθαινουμε στο λυκειο.εδω και 2000 χρονια οι μαθηματικοι ολου του κοσμου προσπαθησαν να μιμηθουν τον ευκλειδη στη δημιουργια μιας καινουριας θεωριας.λιγοι τα καταφεραν.στη θεωρια συνολων που μας απασχολει εδω,αυτο το εργο αποσειχτηκε πολυ δυσκολο.και αυτο διοτι ο διαισθητικος ορισμος του Cantor για την εννοια του συνολου οδηγουσε σε λογικα παραδοξα.

στη προσπαθεια του να θεμελιωσει τη συνολοθεωρια ο Gottlob Frege (και κατ επεκταση ολα τα μαθηματικα) δεχθηκε ενα ισχυρο πληγμα απο την επιστολη που του απεστειλε ο Bertran Russel στην οποια ισχυριζοταν οτι η βασικοτερη αρχη της θεωριας ηταν λανθασμενη διοτι οδηγουσε σε μια αντιφαση που κανεις δε μπορουσε να αποφυγει οσο κι αν προσπαθουσε.ο Frege απογοητευτηκε και χαρακτηριστικα ανεφερε τα εξης,

Δεν υπαρχει μεγαλυτερη ατυχια που μπορει να συμβει σε εναν συγγραφεα επιστημονικου συγγραματτος απ αυτην του να δει καποιο απο τα θεμελια του οικοδομμηματος του να τρεμει μετα το τελοςτης οικοδομησης.αυτη ηταν η θεη στην οποια περιηλθα μετα απο ενα γραμμα του κυριου Russel ακριβως τη στιγμη που το τυπωμα αυτου του τομου ηταν κοντα στο τελος του.

το προβλημα βρισκοταν στο πεμπτο αξιωμα του Frege συμφωνα με το οποιο δεν υπαρχει ιδιοτητα που να μην περιγραφει καποιο συνολο αποτελουμενο απο ακριβως εκεινα τα αντικειμενα που ικανοποιουν την ιδιοτητα αυτη.το παρεαδοξο του Russel ηταν απλο,συντομο και χτυπουσε κατ ευθειαν στην καρδια της θεωριας!το αξιωμα που χτυπουσε το παραδοξο ειναι γνωστο ως γενικη αρχη αρχη συμπεριληψης (ΓΑΣ) και φαινομενικα ελεγε το πιο λογικο πραγμα στον κοσμο.Π.χ. θεωρησε την ιδιοτητα <<ο χ ειναι μαλακας>>.φτιαξε τωρα το συνολο που εχει για μελη ολους αυτους που ικανοποιουν αυτη την ιδιοτητα,δηλαδη ολους τοτς μαλακες.αυτη ειναι η ΓΑΣ και ο Russel απεδειξε οτι ειναι λανθασμενη φτιαχνοντας ενα συνολο με αυτη τη συνταγη και καταληγοντας σε αντιφαση.


ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ RUSSEL

σχεδον ολα τα κοινα μαθηματικα συνολα εχουν την ιδιοτητα να μην ανηκουν στον εαυτο τους.π.χ.το συνολο ολων των αριθμων δεν ειναι αριθμος.ενα συνολο ομως συγκεκριμενα εχει την ιδιοτητα να ανηκει στον εαυτο του.ειναι το συνολο ολων των συνολων!θεωρουμε λοιπον το συνολο



οπου set(x)σημαινει οτι το x ειναι συνολο.οπως βλεπουμε αμεσως το Α ανηκει στον εαυτο του αν και μονο αν δεν ανηκει στον εαυτο του,αντιφαση!!επομενως η ΓΑΣ ειναι λαθος.η ελπιδες του Frege κατερευσαν σαν τραπουλοχαρτα.ευτηχως ομως η ιστορια επιφυλλασε για την σωτηρια της θεωρια τη μεγαλοφυια του Zermello.αυτος θα βγαζε τα καστανα απο τη φωτια και θα εδινε στη θεωρια συνολων τη θεση που της αξιζε.οπως ελεγε και ο Hilbert <<κανεις δε μπορει να μας απομακρυνει απο τον παραδεισο που ο Cantor εφτιαξε για μας>>.

στη συνεχεια θα δουμε πως γλιτωνουμε απο τα παραδοξα δεχουμενοι πως υπαρχουν κι αλλα πραγματα εκτος απο συνολα,οι κλασεις.

ΑΠΟ ΤΟ 0 ΣΤΟ ΚΕΝΟ ΣΥΝΟΛΟ

αν δεν υπαρχουν φυσικοι αριθμοι,δεν υπαρχουν μαθηματικα,δεν υπαρχει τιποτα!Ετσι το 0 αποφασισε να αποβαλλει απο πανω του καθε ουσια.ο εγκεφαλος του cantor κατεβασε μια τρελη ιδεα.θα υλοποιουσε ολους τους φυσικους αριθμους μεσω του κενου συνολου,αυτης της εννοιας που δεν πειειγχε τιποτα και περειιγχε τα παντα συγχρονως.

στην αρχη προσπαθησε να συνειδειτοποιησει τη διαφορα δυο συμβολων.του {} και του {{}},οπου το {} συμβολιζει το κενο συνολο.ηταν δυσκολο.προσπαθουσε να βρει τι ηταν αυτο που τα εκανε τοσο ιδια και τοσο διαφορετικα.τελικα καταλαβε πως το μυστικο βρισκοταν στη μετρηση των στοιχειων.φυσιολογικα το {} ειχε 0 μηδεν στοιχεια ενω το {{}} περιεειγχε 1 στοιχειο το {}.αυτο ειναι τρελα καθαρη.διοτι αυτο το 1 στοιχειο ειναι το {} που δεν περιεγχει κανενα στοιχειο!! πως γινεται αυτο?πως γινεται να μη γελασουν και οι πετρες οταν το δημοσιευσω,σκεφτηκε!

κι ομως αυτη η καθαρη τρελα ηταν εντελως σωστη!και οχι μονο-του επετρεπε να ορισει ολους τους φυσικους αριθμους.απο δω και περα επρεπε να βρει εναν τροπο για να πηγαινει απο εναν αριθμο στον επομενο.αυτη η διαδικασια ονομαζεται επαγωγη και ειναι ανακαλυψη του ελληνα ανναγενησιακου μαθηματικου φραγκισκου μαυρολυκου.

χρειαζοταν λοιπον μια αρχη και μια συναρτηση που θα απεικονιζε καθε αριθμο στον επομενο του,οποτε ετσι θα οριζοταν βασει του 0 ολοι οι γνωστοι αριθμοι.στην αρχη εκανε τη μεγαλειωδη ταυτιση

0<--->{}
στη συνεχεια ορισε τη συναρτηση του επομενου

f(0)={0}={{}}=1,f(1)={1}={{{}}}=2,f(2)={2}={{{{}}}},....κτλ.

αυτη η επαγωγη οριζε σε καθε βημα και εναν φυσικο αριθμο ως ενα μονοσυνολο του μονοσυνολου του μονοσυνολου...του μονοσυνολου του κενου!!οι αριθμοι εγιναν αερας,σκονη,τιποτα!ειχε χαθει καθε ουσια απο μεσα τους.ο πυθγορας ελεγε οτι ο θεος ο ιδιος ειναι αριθμος.αν αυτο ειναι αληθεια τοτε κατα τον cantor δεν τρεχει και τιποτα αφου ο αριθμος ειναι ενα τιποτα.αρα και ο θεος ειναι αερας κοπανιστος!!ολα καλα.

ομως τα μαθηματικα εξακολουθουσαν να λειτουργουν,να λυνουν καθημερινα προβληματα να δυσκολευουν τους μαθητες,να δινουν ρεστα στις λαικες αγορες και να ερευνονται σε ολα τα πανεπιστημια του κοσμου,και ειδικα στη γερμανια των αρχων του 20ου αιωνα στο Goetiggen οπου ειχε μεγαλουργησει ο gauβ,o dirichlet,o riemann,o hilbert,o courant καιο minkowski,o κατα πολλους πραγματικος πατερας της σχετικοτητας.

το μονο που χρειαζοταν ηταν μια καλη θεωρια για τα συνολα,μια στερεη αξιωματικη θεμελιωση,διοτι με βαση τα συνολα οριστικαν ολοι οι αριθμοι.θα πρεπε να τεθει το προβλημα στη βαση του,στα θεμελια του.ηταν φανερο οτι αυτη η προσπαθεια θα επηρεαζε ολοκληρο το οικοδομημα των μαθηματικων,και την εξελιξη του.

για αλλη μια φορα επιστρατευτηκαν οι καλυτεροι του ειδους.συντομα ομως τα παραδοξα θα κατεστρεφαν (εστω και προσωρινα) καθε προσπαθεια θεμελιωσης των συνολων.ο Russel ηταν αυτος που εμελε να βαλει τη βομβα στο ισογειο της πολυκατοικιας.ο Goedel λιγα χρονια αργοτερα θα αποδυκνυε πως ποτε δε θα μασταν σιγουροι για το που παταμε.αλλα ευτυχως μαθαμε να ζουμε μ αυτο.

θα κανουμε μια προσπαθεια να μπουμε στα χωραφια της συνολοθεωριας,ισως του ωραιοτερου κλαδου των μαθηματικων.τα πραγματα θα δυσκολεψουν λιγο για αυτους που διαβαζουν αυτο το μπλογκ.η πορεια ομως θα ναι λογικη.απο τα αξιωματα θα παμε στα παραδοξα και μετα στην αντιμετωπιση τους.η θεωρια που θα προκυψει στο τελος θα λαμπει πεντακαθαρη σαν τον ηλιο.και αφου στερεωθουν τα συνολα θα μιλαμε για τα πιο σιγουρα μαθηματικα που φτιαχτηκαν ποτε!!καλη αρχη..